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2018年10月27日

等高線を読む際のヒント

紅葉の季節が近づいてきました.どこかに山登り(といっても本格的な登山ではないです)にでもいこいうかなと地図を眺めていて思ったことを本日は.
「モデルのあてはめ」は実験データを表現する数式を導出してくれるJMPの代表的な機能です.ですから,モデルとは数式そのものを指しています.一方,モデルには日本語で模型という意味もあります.わたしはモデルを考えるときは常に模型のイメージを大切にしています.模型といっても,いわゆる工作模型の類です.応答関数の性質やその挙動を把握するのには実験データを仲介としてシステムを模型化するという考え方が重要です.この意味では,予測プロファイルよりも曲面プロファイルの方が直感的に理解しやすいので,必ず曲面も見ることにしています.一度に見れるのは二因子までに限定されますが,他の因子を色々と切り替え,スライドさせて,それこそ捻くり回すのです.
工作模型は偽物ではありますが,特に精密にできた模型には本物以上の魅力があります.ときには本物以上の機能が備わっていたりします.誤解のないように補足しますと,本物では検証不可能なことが模型を使って可能である,というような意味です.例えば,何らかのシステム開発ではUMLを用いて分析・設計を実施します.UMLで表記したビジネスモデルをオブジェクト指向で分析するのはシステム開発では必須の手順です.一方で,技術開発ではまだまだ実験計画によるデータに基づくモデリングは必須のものとはなっていません.システム開発のように技術開発もすべきである,というのがわたしの持論です.
JMPの一連のプロファイルはこのために欠かせないツールです.松岡正剛さんは千夜千冊の書評で,松井広志(2017)『模型のメディア論』青弓社を取り上げて,「モデリングの真骨頂は可塑的であることだ。」と看破されていますが,わたしもJMPのプロファイルの長所は応答関数を可塑的に変化させることができる点にあると考えています.
ところで,曲面プロファイルは,模型のイメージには近いのですが,応答が複数になると手に負えなくなります.そこで多目的最適化では等高線プロファイルが活躍します.とはいえ,しょせん二次元モデル(マップ)なのでその情報を三次元に再構築する能力がわたしたちに必要となります.サイクリングで峠に登るコースを選ぶときなどで,等高線を読むのに慣れているのでわたし自身は問題ないのですが,経験的に,これが苦手な人がいらっしゃいます.そこでちょっとした小技をお教えしましょう.
データは何でもいいのですが,サポートファイルの「MCDAデモ事例.jmp」を使って説明します.まずは,グラフメニューから等高線プロファイルを選んで,「予測式_膜厚」_を「Y,予測式」に割り当てます.このときN2とSiH4を誤差因子にも割り当てるのが味噌です.(この例では他の因子は無視します.)水平はN2,垂直はSiH4をチェックしてから,Y軸をダブルクリックして範囲を最小−1000,最大を3000とし,同様にしてX軸の範囲も最小−300,最大300に変更します.あくまでも等高線プロファイルの例として示しているだけで,範囲を拡張しているので現実的な例では全くありませんので,この点はご注意ください.
さて,予測式(この場合膜厚)の応答関数が赤線で示されていますが,もっとわかりやすくするために赤三角から「等高線グリッド」を設定(デフォルトで構いません)します.この時点で既にお気付きのように青と緑の線が示されています.これらは膜厚の予測式をそれぞれSiH4とN2とで偏微分した係数の予測式(∂予測式)であり,即ち応答関数の曲面の傾き(の等高線)を示しています.デフォルトでは0の等値線が示されているので,これは山の尾根線に相当するのものです.青線の線上ではSiH4の変動に対する膜厚(の予測値)の変化は0になっています.二次までの応答関数を仮定した場合限定ですが,山の尾根道,山登りの用語でいうといわゆる乗越(のっこし)ですね.もちろんか谷道の場合もあります.(三次までを仮定するならば,林道のような片側が崖で片側が山のような道というケースもあります.)そして,両者が混じった点が山の頂上あるいは谷底,あるいはいわゆる鞍部になります.
この2つの∂予測式が応答関数の把握に役に立ちます.このためには2つの∂予測式の等高線グリッドを挿入してみます.
92−1.png
ここから応答曲面が再構築できますか?わからないという人は,膜厚の下限をスライダーで変化させるとこの曲面は鞍部の形状になっていることがわかります.曲面プロファイルだとこんな感じです.
92−2.png
このプロファイルに誤差因子を割り当てるのは,本来はロバスト設計のための機能です.ここでは「満足度の最大化」は実施していませんが,膜厚を最大に,両方の∂予測式を0に制約することでロバスト解が得られることになります.それだけでなく,通常の内乱でなく外乱の影響を考えるときに役に立ちます.例えば,SiH4とN2のガス流量の変動に対しては,2つの∂予測式の上加減をそれぞれN2は±3, SiH4は±0.5などと入力するとこのようになります.
92−3.png
この図の白抜きの領域がガス流量の変化にロバストになっています.費用をかけてガス流量の安定を図るならば,SiH4の方が効果が高いということがわかります.
簡単な例ですが,JMPのプロファイルの素晴らしさが伝われば幸いです.秋深くなってまいりました.皆様も風邪など召されませんよう.それでは. 
タグ:JMP
posted by Tad at 20:00| Comment(0) | TrackBack(0) | JMP
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